Question

同余的性质

Answer 1

1 反身性 a≡a (mod m)
2 对称性 若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)
3 传递性 若a≡b (mod m)，b≡c (mod m)，则a≡c (mod m)
4 同余式相加 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则a+-c≡b+-d (mod m)
5 同余式相乘 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd (mod m)
【证明】上述性质很容易证明,下面仅证明(3).
∵a≡b(mod m)∴m|(a-b) 同理m|(b-c),
∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c).
故a≡c(mod m).
4 线性运算如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那么(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)，(2)a * c ≡ b * d (mod m)
【证明】(1)∵a≡b(mod m),
∴m|(a-b) 同理 m|(c-d)
∴m|[(a-b)±(c-d)]
∴m|[(a±c)-(b±d)]
∴a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)
又 m|(a-b) , m|(c-d)
∴m|(ac-bd)
∴a * c ≡ b * d (mod m)
5 除法若ac ≡ bc (mod m) c≠0 则 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数
特殊地 ,gcd(c,m)=1 则a ≡ b (mod m)
6 幂运算如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m)
7 若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n)
8 若a ≡ b (mod mi) (i=1,2...n) 则 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍数
9 欧拉定理
设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(φ(m))≡1(mod m)
(注:φ(m)指模m的简系个数， φ(m)=m-1, 如果m是素数；φ(m=q1^r1 * q2^r2 * ...*qi^ri)=m (1-1/q1)(1-1/q2)...(1-1/qi))
推论: 费马小定理: 若p为质数，则a^p ≡ a (mod p) 即a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
（但是当p|a时不等价）
10 中国剩余定理
设整数m1,m2,m3,......,mn 两两互素，令m=m1m2m3m4m5...mn（mi的连乘）。则对于任意的J在（1,n)整数，下列联立的同余式有解：
{xj≡1(mod mj)
{xj≡0(mod mi) i不等于j
令x为从1到najxj的和，则x适合下列联立同余式
x≡aj（mod mj）, j=1,2,3,.....,n
另：求自然数a的个位数字，就是求a与哪一个一位数对于模10同余