Question

已知数列{an}是等差数列，an+1》an，a1·a10=160，a3+a8=37

求数列an的通项公式
若从数列{an}中一次取出第二项，第四项，第八项，....第2的n次方项，按原来的顺序组成一个新数列bn，求bn的前n项和

Answer 1

解：（1）设数列首项为a1=a,公差为d,由等差数列特点知道a3+a8=37=a1+a10则
a(a+9d)=160
a+a+9d=37解得a1=5,a10=32或者a1=32，a10=5，利用an+1》an知道
a1=5,a10=32;an=5+3(n-1)=3n+2,n为正整数。
解答本题关键在于利用等差数列的性质，如果等号两边的下标之和相等则他们的和相等，比如本题a3+a8=a1+a10。其实等比数列也有类似性质，只是变为了下标之和相等则乘积相等，比如数列2，6，18，54....中2与54的乘积和6与18的乘积相等。
（2）取出的数列中的前几项列写如下：8，14，26...
则b=3*2^n+2,n为正整数。
sn=8+14+26+50+...+3*2^(n-1)+2 + 3*2^n+2
2*sn= 16+28+52+...+3*2^(n-1)+4 +3*2^n+4 +3*2^(n+1)+4
则2*sn-sn=sn=-8+2*(n-1)+3*2^(n+1)+4=3*2^(n+1)+2*n-6
所以sn=3*2^(n+1)+2*n-6

此处关键在于看得出来数列bn包含了一个等差数列和一个等比数列的和，根据这个特点构造另外一个前n项和相关的和式，然后错位相消。

说明*表示乘积，如2*3=6；^表示乘方，如2^2=4,2^(2+1)=8

Answer 2

通项公式an=a1+（n-1)d由a1·a10=160可得a1（a1+9d）=160(1)由a3+a8=37可得a1+2d+a1+7d=37(2)由（1）（2）可得a1=5或a1=32,又由an+1》an，所以a1=5，所以d=3所以an=5+（n-1)3=3n+2所以bn=3*(2)的n次方+2所以bn+1=3*(2)的(n+1)次方+2所以（bn+1项-2）/(bn项bn)=2所以{bn-2}为等比数列则再求{bn-2}的的前n项和
再加2n则得bn的前n项和