Question

数学归纳法

已知数列an中，a1=1/3,（a1+a2+……+an)/n=(2n-1)an,求出an，用数学归纳法证明

Answer 1

an=1/[(2*n+1)(2*n-1)]
证明：
n=1时 a1/1=(2*1-1)*a1 成立；
n=2时(a1+a2)/2=（2*2-1)a2,得出 a2 = 1/15,
此时 an= 1/[(2*1+1）（2*2-1）]=1/15;
假设n=k时，ak=1/[(2*k+1)(2*k-1)]成立;
n=k+1时，a1+a2+……+ak+ak+1)/(k+1)=(2k+1)ak+1;
k*(2k+3）ak+1=（a1+a2+……+ak）；
(2k+3)ak+1 =（a1+a2+……+ak）/k =(2k-1)ak =(2k-1)*1/[(2*k+1)(2*k-1)]
= 1/(2*k+1);
ak+1 = 1/[(2*k+1)(2k+3)];成立；