数学题 要过程,谢谢

1、设X>Y.不等式√x+√y≤a√(x+y)恒成立,则a的最小值为2、函数㏒a(x+3)-1(a>0,a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m... 1、设X>Y.不等式√x+√y≤a√(x+y)恒成立,则a的最小值为 2、函数㏒a(x+3)-1(a>0,a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx +ny+ 1= 0上,其中mn>0,则m分之1加n分之2的最小值为、
3、求证a²+b²≥ab+ a+ b-1
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却锋5D
2010-10-05 · TA获得超过421个赞
知道小有建树答主
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1.和X>Y没什么关系吧
√x+√y≤a√(x+y)
所以a>=[根号x+根号y]/[根号(x+y)]
因为xy均为正数
所以x+y大于等于2根号xy
所以2(x+y)大于等于(根号x+根号y)^2
所以(根号x+根号y)小于等于根号[2(x+y)]
所以
[根号x+根号y]/[根号(x+y)]小于等于根号2
所以要恒成立,a大于等于根号2
所以a的最小值为根号2

2
因为㏒aX恒过定点(1,0)所以㏒a(x+3)恒过顶点(1-3,-1)即(-2,-1)
代入mx +ny+ 1= 0
得2m+n=1

1/m+2/n=(n+2m)/mn=1/mn
mn=m(1-2m)=-2m^2+m
该二次函数最大值为1/8
所以原式最小值为8

3.
囧,刚才一直在往均值不等式的方向想,我不等式学得不好= =,想用放缩放也放不出去,缩也缩不起来Orz

换了另一种方法,满囧的,但是对双变量的不等式证明题应该是通法吧,而且不像均值需要考虑正负问题。

a²+b²≥ab+ a+ b-1
移项a²+b²-ab- a- b+1≥0
令f(a)=a²+b²-ab- a- b+1
则f'(a)=2a-b-1
令f'(a)=0
所以a=(b+1)/2
这里随便说一下是唯一极小值也就是最小值点。
把a=(b+1)/2代入f(a)
最后化简得f(a)=3/4(b-1)^2大于等于0
最后不要忘了说当且仅当a=……b=……时等号成立

我回家再想想用均值的方法,不过这题没说ab>0
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