Question

数学题 要过程，谢谢

1、设X＞Y．不等式√x+√y≤a√(x+y)恒成立，则a的最小值为 2、函数㏒a（x＋3）－1(a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx +ny+ 1= 0上，其中mn＞0，则m分之1加n分之2的最小值为、
3、求证a²+b²≥ab+ a+ b-1

Answer 1

1.和X＞Y没什么关系吧
√x+√y≤a√(x+y)
所以a>=[根号x+根号y]/[根号（x+y）]
因为xy均为正数
所以x+y大于等于2根号xy
所以2（x+y)大于等于（根号x+根号y）^2
所以（根号x+根号y）小于等于根号[2（x+y）]
所以
[根号x+根号y]/[根号（x+y）]小于等于根号2
所以要恒成立，a大于等于根号2
所以a的最小值为根号2

2
因为㏒aX恒过定点（1，0）所以㏒a（x＋3）恒过顶点（1－3，－1）即（－2，－1）
代入mx +ny+ 1= 0
得2m+n=1

1/m+2/n＝（n+2m）/mn＝1/mn
mn＝m（1－2m）＝－2m^2+m
该二次函数最大值为1/8
所以原式最小值为8

3.
囧，刚才一直在往均值不等式的方向想，我不等式学得不好＝ ＝，想用放缩放也放不出去，缩也缩不起来Orz

换了另一种方法，满囧的，但是对双变量的不等式证明题应该是通法吧，而且不像均值需要考虑正负问题。

a²+b²≥ab+ a+ b-1
移项a²+b²-ab- a- b+1≥0
令f(a)=a²+b²-ab- a- b+1
则f'(a)=2a-b-1
令f'(a)=0
所以a=(b+1)/2
这里随便说一下是唯一极小值也就是最小值点。
把a=(b+1)/2代入f(a)
最后化简得f(a)＝3/4（b-1)^2大于等于0
最后不要忘了说当且仅当a=……b＝……时等号成立

我回家再想想用均值的方法，不过这题没说ab>0