Question

关于函数的数学问题

已知函数f（x）对任意x,y∈R，总有f(x)+f（y）=f（x+y），且当x>0时，f（x）<0，f(1)=-2\3.求证：f（x）在R上是减函数，求f(x)在【-3，3】上的最大值和最小值

Answer 1

令x=y=0 可得 f(0)+f（0）=f（0），f(0)=0
令x=x1, y=x2-x1 x1<x2
所以 f(x1)+f(x2-x1)=f(x1+x2-x1)=f(x2)
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0 所以是减函数

所以最大值为 f(-3) 最小值为f(3)

f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=-2
f(-3)+f(3)=f(-3+3)=f(0)=0
所以f(-3)=2

所以最大值为2 最小值为-2

Answer 2

（1）证明：
任取x1、x2∈R,且x1>x2
函数f（x）对任意x,y∈R，总有f(x)+f（y）=f（x+y）
所以f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)
x1>x2，则x1-x2>0
又x>0时，f（x）<0
有f(x1-x2)<0
即f(x1)-f(x2)<0
又x1>x2
所以f（x）在R上是减函数
证毕
（2）由（1）知f（x）在R上是减函数
所以f(x)max=f(-3)
f(x)min=f(3)
因为f(x)+f（y）=f（x+y）
所以f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)
f(1)=-2/3
则f(3)=-2
令x=-1,y=1则f(-1)+f(1)=f(0)........a
令x=y=0则f(0)+f(0)=f(0)............b
联立a、b式得f(-1)=2/3
有f(-3)=2
综上：f(x)在【-3，3】上的最大值为2，最小值为-2

Answer 3

y=kx和y=kx+b交点p(-2,2)所以y=-x,又因为一次函数的图像与Y轴交与点Q（0，6）所以y=2x+6
面积=1/2乘以6乘以2=6

Answer 4

A(0,0)点
，因为a大于0
所以二次函数开口向上
又因为Y=a的x的平方
所以
对称轴为
X=0
无论a
取什么值
当x=0时
y=0
所以
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(0,0）点！