Question

已知圆C的方程为x的平方+y的平方=r的平方，求证:经过圆C 上一点M(x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r的平方

Answer 1

圆C为 x^2+y^2=r^2
所以园过原点，半径为r
连接OM，则|OM|=r
设过M（x0,y0）的切线为l
则OM垂直l
在切线l上任取一点N(x,y)
在直角三角形OMN中
ON^2=OM^2+MN^2=r^2+MN^2
ON^2=x^2+y^2
根据两点之间的距离公式
MN^2=(x-x0)^2+(y-y0)^2
=x^2-2x0x+x0^2+y^2-2y0y+y0^2
=x^2+y^2+x0^2+y0^2-2(x0x+y0y)
所以
x^2+y^2=r^2+x^2+y^2+x0^2+y0^2-2(x0x+y0y)
化简
r^2+x0^2+y0^2-2(x0x+y0y)=0
x0^2+y0^2=r^2
所以
2r^2-2(x0x+y0y)=0
即
x0x+y0y=r^2

Answer 2

y=kx+b
k=-x0/y0
b=r/sinα=r/(y0/r)=r^2/y0
y=-x0/y0 x+ r^2/y0
y0y+x0x=r^2