Question

求解：高中数学题

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x），当x∈（1,2]时，f（x）=2-x 求证：对任意x∈（0，+∞），f（x）＜x
要求有详细的解题过程

Answer 1

因为x∈（1，2] ,f（x）=2-x
对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x），
则x∈（0，1]，f（x）=(2-x)/2
x∈（2,4]，f（x）=2(2-x)
x∈（4,8]，f（x）=2^2(2-x)
x∈（8，16]，f（x）=2^3(2-x)
......
可知函数f(x)是递减函数，
因为x∈（0，1]，f（x）=(2-x)/2
则f（x）-x=1-x<0
可知x∈（0，1]，f（x）＜x
由递减函数的特性可知
对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜x

Answer 2

解：当x∈（1,2]时
∴ 1＜x≤2
∵f（x）=2-x
当x=2时
f（2）=2-2=0
所以当x=2时，f（2)=0
∴f（x）＜x

Answer 3

解：当x∈（1,2]时
因为 1＜x≤2
所以f（x）=2-x
当x=2时
f（2）=2-2=0
所以当x=2时，f（2)=0
所以f（x）＜x
希望对你学习有帮助！好好学习吧！