Question

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M是正整数集的子集，满足1∈M，2006∈M，2007不属于M，并且有如下性质：
若a,b∈M，则根号（（a^2+b^2)/2)∈M，问M有多少个非空子集

Answer 1

设a＜b，易知a^2＜（a^2+b^2)/2＜b^2，设k=根号（a^2+b^2)/2
则有a＜k＜b,因为1∈M，2006∈M，所以能够得到1＜k＜2006，
1＜[根号（（a^2+b^2)/2)]＜2006（应该有个取整符号吧“[]”），
因此M有元素1到2006。已知2007不属于M，再证明≥2008的数不属于M就可以了。若≥2008的数属于M，则k的上限就超过了2007，即[根号（（a^2+b^2)/2)]可为2007，与2007不属于M矛盾，所以≥2008的数不属于M。
综上，M有元素1，2,3，…，2006共2006个元素，所以M有（2^2006-1）个非空子集。