Question

求1³+2³+3³+……+n³ 详细呀！

Answer 1

令A=1+2+3+…+n=n(n+1)/2
令B=1^2+2^2+3^2+…+n^2
令C=1^3+2^3+.....+n^3
n^3-(n-1)^3= 3n^2 -3n +1
(n-1)^3-(n-2)^3=3n^2-9n+7= 3(n-1)^2-3(n-1)+1
(n-2)^3-(n-3)^3=3n^2-15n+19=3(n-2)^2-3(n-2)+1
… …
2^3-1^3= 3*2^2- 3*2 +1
1^3-0^3= 3*1^2- 3*1 +1
两边求和得
n^3=3B-3 A+n
解得
B=n(2n+1)(n+1)/6

n^4-(n-1)^4= 4n^3 -6n^2 +4n -1
(n-1)^4-(n-2)^4=4(n-1)^3-6(n-1)^2+4(n-1)-1
......
1^4-0^4= 4*1 -6*1 +4*1 -1
两边相加
n^4=4C-6B+4A-n
解之得
C=[n(n+1)/2]^2=(1+2+3+....n)^2

Answer 2

用1^2+2^2+3^2+……+n^2和a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)来证明

Answer 3

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
证明：

1^3=1^2
1^3+2^3=(1+2)^2
1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2
综上所述,观察得知:
1^3+2^3+3^3+……+n^3=(1+2+3+……+n)^2=n^2(n+1)^2/4
当n=1时，结论显然成立
若n=k时，结论假设也成立
1^3+2^3+3^3+……+k^3=k^2(k+1)^2/4
则n=k+1时有
1^3+2^3+3^3+……+k^3+(k+1)^3
=k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3
=(k+1)^2(k^2+4k+4)/4
=(k+1)^2(k+2)^2/4
所以
1^3+2^3+3^3+……+n^3=n^2(n+1)^2/4

数学归纳法