Question

已知：f(x)是定义在（0，＋∝）上的增函数，且f(x/y)=f(x)-f(y)

⑴求f(1)的值
⑵若f(3)=1,解不等式f(x+5)＜2

Answer 1

授人以鱼不如授人以渔。我给你讲讲解题的思路。

⑴ 求f(1)的值
要求f(1)的值，而已知条件只有一个：f(x/y)=f(x)-f(y)，怎么弄？
显然，如果可以得到一个类似于a*f(1)+b=0的公式，就好办了。
怎么从f(x/y)=f(x)-f(y)导出a*f(1)+b=0这样的公式呢？
f(x/y)=f(x)-f(y)这里面有3个函数值，f(x/y)、f(x)、f(y)，是不是可以都弄成f(1)?
这就对了：
f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)
所以,答案就是：
f(1)=0

(3)

⑵ 若f(3)=1,解不等式f(x+5)＜2
由于f(x)是增函数，所以，关键是找到当f(x)=2时，所对应的x的值。
老师是不会无缘无故的给一个f(3)=1的，所以，我们要从f(3)=1出发：
f(3)=f(9/3)=f(9)-f(3)
所以，f(9)=2
现在已经找到f(x)=2时，所对应的x的值，就是9了。
又由于f(x)是定义在（0，＋∝）上的增函数,因此0<x+5<9，
答案，已经出来了。

(3) 补充说明一点，这个函数其实是一个对数函数，楼主你知道这个对数函数的底是多少吗？