Question

关于一元二次不等式解集为空集的详细解法

已知p：α＞0，b²-4ac＜0是q：关于x的一元二次不等式ax²+bx+c＜0的解集为空集的什么条件？并说明理由(要求证明)
有没有具体过程啊

Answer 1

充分条件，但不是必要条件。只要讨论a不等于0的情况：
注意 ax^2+bx+c=a[x+b/(2a)]^2+(4ac-b^2)/(4a)
所以 ax^2+bx+c<0 等价于a[x+b/(2a)]^2+(4ac-b^2)/(4a)<0
由此可见 a>0，b^2-4ac<0 时原不等式的解集为空集；
但a>0且b^2-4ac=0时原不等式解集也是空集！

Answer 2

充分条件，但不是必要条件。只要讨论a不等于0的情况：
注意
ax^2+bx+c=a[x+b/(2a)]^2+(4ac-b^2)/(4a)
所以
ax^2+bx+c<0
等价于a[x+b/(2a)]^2+(4ac-b^2)/(4a)<0
由此可见
a>0，b^2-4ac<0
时原不等式的解集为空集；
但a>0且b^2-4ac=0时原不等式解集也是空集！

Answer 3

图像，a>0,判别式<0
解集为空集，关于x的ax²+bx+c》=0
二次函数最小值》=0，就是这 a>0,判别式<=0