Question

双曲型偏微分方程的解法及相关问题

Answer 1

在求解双曲型方程或研究其解的性质时，特征超曲面及次特征线起着重要的作用。一个超曲面S:φ(t,x)=0，如果在其上成立就称它是方程（4）的一个特征超曲面。对于双曲型方程，任一特征超曲面均由次特征线组成，而次特征线t=t(τ),x=x(τ）由下述常微分方程组满足附加条件（5）的解所给出。由过一点p(t0，x0）的一切次特征线所构成的特征超曲面，称为以p为顶点的特征劈锥面，连同其内部称为特征劈锥体，它们由位于t≥t0及t≤t0的前向及后向两部分组成。过p点指向此劈锥面内部的任一方向，称为此点的类时方向；一个处处和类时方向相切的曲线称为类时曲线。以P为顶点的特征劈锥面内部的任一点，都可用类时曲线与p点相连。在p点将劈锥的前后两部分隔开来的任一超曲面元素，称为类空元素；处处和类空元素相切的超曲面称为类空超曲面。对方程（4），超平面t为常数就是一个类空超曲面。对波动方程（1），次特征线都是直线，而以p(t0,x0）为顶点的特征劈锥面就是特征锥面.
此时t轴恰为一个类时曲线。在方程（4）的主部的系数有界时，以任何点为顶点的特征劈锥面，都可包含在以此点为顶点的一个固定大小的圆锥中。解的弱间断面一定是特征超曲面，因此，在波的传播中，特征超曲面可用来表示波前，即作为已受扰动与未受扰动的区域的分界面，而任何扰动都沿着次特征线传播。这里，扰动沿次特征线传播的性质，充分体现了一般情形下线性偏微分方程的解的奇性传播的特点。在光学中，次特征线就是光线，沿着它们积分一些常微分方程，在高频振动的情况下，可得到精确解的渐近展开式。这一方法称为几何光学近似。它将波动光学和几何光学联系起来，并为傅里叶积分算子提供了一个雏型。
对双曲型方程（4），常见的定解问题是柯西问题或称初值问题：求方程（4）在t>0时的解u=u(t,x），使它满足如下的初始条件 t=0: 　u= u0(x），式中u0(x）及u1(x）为给定的适当光滑的函数。一般地说，柯西问题的初始资料可以给在任一类空超曲面上。对于正规双曲型方程，其柯西问题是在阿达马意义下适定的，即其解存在、惟一并以某种方式连续地依赖于初始资料。不仅如此，柯西问题（4）、（6）的解u在一点p(t0,x0)(t0>0）之值，只依赖于以p点为顶点的后向特征劈锥体与初始超平面t=0交截所得的区域Gp上的初始资料，而和Gp外的初始资料无关。Gp称为点p的依赖区域。依赖区域的有界性反映了波动以有限速度传播的事实，是双曲型方程所具有的一个本质的特点。相应地，初始资料在t=0上一点p0的一个邻域中的扰动，仅影响到解在以p0为顶点的前向特征劈锥体的一个邻域中的数值。这个前向特征劈锥体称为p0点的影响区域。在特殊的情形下（例如对n>1为奇数时的波动方程（1）），解u在p(t0,x0）点的值仅依赖于初始资料在Gp的边界的一个任意小的邻域中的值，而p0 点的影响区域仅是过 p0点的前向特征劈锥面。此时，波的传播有清晰的阵面，不会出现波的弥散，称为成立惠更斯原理。对n为偶数的波动方程（1），惠更斯原理不成立。然而，不论在哪一种情形，由于解的奇性（不连续性）沿着次特征线传播，在t=0上一点p0处初始资料的奇性仅通过以p0为顶点的前向特征劈锥面传播出去，或者说，解在p(t0,x0）点的光滑性仅依赖于初始资料在Gp边界的一个任意小的邻域中的光滑性。这个事实，称为广义的惠更斯原理。 双曲型方程柯西问题的现代理论，是由J.（-S.）阿达马对二阶双曲型方程柯西问题的先驱工作开始的。他通过构造在特征劈锥面上具有奇性的解（基本解）来求解柯西问题，并采用求发散积分的有限部分的方法来克服所遇到的奇性困难。他的工作经过M.里斯及С.Л.索伯列夫等人的发展，对广义函数论的建立是一个重要的推动，而阿达马的方法在广义函数论的框架中也得到了更清晰和完善的表达。
证明柯西问题适定性的一个比较简便的方法是能量积分法。所谓能量积分，就是在x空间中由解及其若干阶偏导数所组成的正定的积分。在一些常见的波动现象中，利用波在传播中的能量守恒律，可以知道某些能量积分是不随时间t变化的常数。对一般的二阶双曲型方程（4），也能在一个包含特征劈锥面的适当大的圆锥中建立有关能量积分的一些估计式，称为能量不等式。由此不仅可以证明柯西问题解的惟一性及对初始资料的连续依赖性，还可以证明解的存在性及正规性。为此，自然地采用了泛函分析的框架，并要利用索伯列夫空间的理论。 除柯西问题外，另一类重要的定解问题是混合初-边值问题，简称混合问题，即要求方程（4）的一个解 u(t,x），使它在x空间的一个区域的边界上满足给定的边界条件，并在此区域上满足t=0时的初始条件。在研究波的反射、干扰或有界弹性体的振动等问题时，就会自然地提出这类问题。二阶双曲型方程（4）带常见边界条件的混合问题也是在阿达马意义下适定的。在n=1的情形，对二阶双曲型方程的柯西问题及混合问题都可以利用黎曼函数方法求解。
对于高阶的方程或方程组，其双曲型的定义同样是和柯西问题的适定性密切联系在一起的，甚至可以用保证柯西问题为适定的要求来作为双曲型的定义。在常系数的情形，已为L.戈尔丁所详细分析，并给出了此时方程中的系数所应满足的代数条件，但由于该定义涉及到方程中非主部的系数，难以推广到变系数的情形。在一般的情况下，有意义的是给出方程中的系数所满足的一些代数条件，使能保证柯西问题的适定性，并适用于相当广泛的场合。下面是最常见和重要的两种情形。