Question

定积分运算，函数自变量变换，积分上下限为什么会调换？

Answer 1

积分变量改变了，积分限相应也要改变，本题具有过程如下：

上限：t=x，使用u=x-t换元后对应： u=x-t=x-x=0

下限：t=0，使用u=x-t换元后对应： u=x-t=x-0=x

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式  。

该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为  ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。

其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个函数。

扩展资料：

定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距  是相等的。但是必须指出，即使  不相等，积分值仍然相同。

我们假设这些“矩形面积和”  ，那么当n→+∞时，  的最大值趋于0，所以所有的  趋于0，所以S仍然趋于积分值。

利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。

一般定理：

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个  上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

如果黎曼可积的非负函数f在  上的积分等于0，那么除了有限个点以外，  。如果勒贝格可积的非负函数f在  上的积分等于0，那么f几乎处处为0。如果  中元素A的测度  等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。

如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对  中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

参考资料：百度百科---定积分

Answer 2

积分变量改变了，积分限相应也要改变，本题具有过程如下：
上限：t=x，使用u=x-t换元后对应： u=x-t=x-x=0
下限：t=0，使用u=x-t换元后对应： u=x-t=x-0=x

追问

请问，积分变量改变了，积分限相应也要改变，具体有那条定理来说明使用的范围、原则吗？

追答

这个貌似没有哪条定理来说明，只是基本的等价变换，例如某人有100元，单位是元，变量替换为佰元，那就是1佰元，数值相应变换。