Question

定义在R上的函数f（x），对任意的x，y∈R ，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）， 且 f（0）≠0，求证

定义在R上的函数f（x），对任意的x，y∈R ，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）， 且 f（0）≠0，求证：

① f（0）=1
② f（x）是偶函数

Answer 1

（1）在恒等式f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中，
令x=y=0，得f(0)+f(0)=2f(0)f(0)，
f(0)[f(0)-1]=0，
∵f(0) ≠0，
∴f(0)-1=0，即f(0)=1；

（2）由（1）知f(0)=1，
在恒等式中，令x=0，得
f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)
f(-y)=f(y)，
∴由偶函数的定义可知，f(x)为偶函数.

Answer 2

①令x=y=0，得到f（0）=f（0）^2,因为f（0）≠0,所以f（0）=1；
②由f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）可知， f（x-y）+f（x+y）=2f（x）f（-y），故f（x）f（y）=f（x）f（-y），因为f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）对在R上的函数f（x）均成立，所以f（x）不可能恒为零，所以f（y）=f（-y），即f（x）是偶函数

Answer 3

证①令x=0,y=0
则f（0+0）+f（0-0）=2f（0）f（0）
即2f（0）=2f（0）f（0）
得f（0）=1

②令x+y=0则y=-x
f（x)=f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）
=f（x-x）+f（x+x）=2f（x）f（-x）
f（-x)=f（-x+x）+f（-x-x）=2f（-x）f（x）
即f（-x)=f（x)
得f（x）是偶函数