Question

相似三角形题目一道

在△ABC中AB=AC，点D在边AB上，点D在边BC上。且∠DEF=∠B。
1）求证：三角形FCE与三角形EBD相似
2）若AB=AC=5，BC=6，DE⊥AB，其他条件不变，当D在线段AB上运动时，是否有可能使S△FCE=4S△EBD，如果可能的话，求出BD的长。

Answer 1

解：

1）证明：

∵AB=AC，∠B=∠DEF，

∴∠ABC=∠ACB，∠BDE=180°-∠B-∠DEB=180°-∠DEF-∠DEB=∠FEC，

又∵∠B=∠C，

∴△FCE∽△EBD，

得证

2）假设存在，

根据第一问，得

BD/BE=CE/CF，

设BD=x，

过A作AH⊥BC于H，则易得BH=(1/2)BC=3，cos∠B=BH/AB=3/5

∵ED⊥AB，

∴BE=BD/cos∠B=(5/3)x，

CE=BC-BE=6-(5/3)x，

∴CF=10-(25/9)x

S△BDE=(1/2)BD*BE*sinB

S△CEF=(1/2)CE*CF*sinC

∴当S△FCE=4S△EBD时，有CE*CF=4BD*BE

即60+(125/27)x²-(100/3)x=4*(5/3)x²

(55/27)x²+(100/3)x-60=0

11x²+180x-324=0

x=18/11（负值已舍）

即BD=18/11

此即所求

谢谢