Question

微积分里dxdy=-dydx，助教给的解释是dx与dy实际上是叉乘，可以具体解释下么

Answer 1

因为dxdy是一个面积元素，我们也说过，你可以用极坐标替换x=rcosa y=brsina 为什么dxdy=rdrda呢 就是因为是叉乘 否则上面那个等号是不成立的

追问

1. 极坐标面积代换不是根据几何意义或者变量代换么？为什么是叉乘使之成立？

2. 如果dxdy是叉乘，岂不是意味着dx,dy,dxdy都是向量？

3. 如果dxdy是叉乘，为什么积分里dxdy与dydx积分结果一样，而不是相反数？

Answer 2

• 极坐标面积代换不是根据几何意义或者变量代换么？为什么是叉乘使之成立？

叉乘得到的是面积长度的向量。故叉乘可以代替面积元素。

• 如果dxdy是叉乘，岂不是意味着dx,dy,dxdy都是向量？

是的。

• 如果dxdy是叉乘，为什么积分里dxdy与dydx积分结果一样，而不是相反数？

dxdy与dydx是二重积分转换为二次积分了。并不是对向量dxdy或者dydx叉积向量整体积分了。

我是这么想的。