Question

如图,在矩形abcd中,已知AD=1.5,AB=a(a>1.5),E,F,G,H分别是边AD,AB,BC,CD上的点

如图,在矩形abcd中,已知AD=1.5,AB=a(a>1.5),E,F,G,H分别是边AD,AB,BC,CD上的点，若AE=AF=CG=CH，问AE取何值时，四边形EFGH的面积最大？并求最大面积？

Answer 1

设AE为x，则AE=AF=CG=CH=x，且0＜x＜1.5.ED=BG=1.5-x。FB=DH=a-x。则S△AEF=S△CHG=0.5x*x,S△EDH=S△BFG=0.5(a-x）（1.5-x）
则S四边形EFGH=S矩形ABCD-S△AEF-S△CHG-S△EDH-S△BFG=1.5a-2*0.5x*x-2*0.5(a-x）（1.5-x）.然后算出S四边形EFGH=-2*[x-(3+2a）/8]*[x-(3+2a）/8]+(3+2a)*（3+2a)/32.
所以当x=(3+2a）/8时，S四边形EFGH有最大值，为（3+2a)*（3+2a)/32。