Question

已知AD为△ABC角平分线,且∠B=2∠C,求证AC=AB+BD

Answer 1

在AC上截取AE=AB，连接DE，利用已知条件求证△ABD≌△AED，然后可得BD=DE，∠B=∠AED，再利用三角形外角的性质求证CE=DE，然后问题可解．

解答：证明：在AC上截取AE=AB，连接DE．

∵∠A的平分线AD交BC边于点D，

∴∠BAD=∠DAC，

在△ABD与△AED中，AB=AE∠BAD=∠DACAD=AD，

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴BD=DE，∠B=∠AED，

∵∠B=2∠C，∠AED=∠C+∠EDC，

∴∠AED=2∠C，

∴∠C=∠EDC，

∴CE=DE，

∴CE=BD，

∴AC=AE+EC=AB+BD．

Answer 2

延长AB至E，使得BE=BD，再连结ED

因为BD=BE，所以∠E=1/2*∠ABC

因为∠ABC=2∠C

所以∠E=∠C

因为AD为△ABC角平分线

所以∠1=∠2

因为∠E=∠C，∠1=∠2，AD=AD

所以△AED≌△ACD

所以AE=AC

因为BE=BD

所以AC=AE=AB+BE=AB+BD