Question

函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且，当x＜0时，f（x）＜1。

函数f(x)对任意实数x,y都有f（x+y）=f(x)+f(y)-1，且，当x＜0时，f(x)＜1。 求证：f(x)在R上为增函数； （2）若f(4)=7，解不等式f(2x+1)＜4

Answer 1

1.
令x1<x2,则f（x1）-f（x2）= f(x2+(x1-x2))-f(x2)=f(x2)+f(x1-x2)-1-f(x2)=f(x1-x2)-1,
由于当x<0时f(x)<1，而x1-x2<1,
所以 f（x1）-f（x2）<0,故f(x)在R上为增函数

2.
由f(4)=7得到 f(2+2)=f(2)+f(2)-1=7，从而f（2）=4
所以 由f(2x+1)<4得到
f(2x+1)<f（2）
由于f(x)在R上为增函数，故有
2x+1<2
所以
x<1/2

Answer 2

(1)设x2>x1,则x1=x2+t,(t<0）
f(x1)=f(x2)+f(t)-1
f(x2)-f(x1)=1-f(t)>0
故f(x)为增函数
（2）f(4)=f(2)*2-1,
得，f(2)=4
根据f(x)为增函数,得
2x+1<2
x<1/2