Question

定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)＞1，且对任意实数x，y有f(x+y)=f(x)*f(y)

(1)证明；当X＜0时，有0＜f(x)＜1
(2)证明；f(x)是R上的增函数
(3)若f(x^2)·f(2x-x^2+2)＞1，求x的取值范围

Answer 1

f(x+y)=f(x)*f(y)
取x=y=0，得f(0)=f(0)f(0),,f(0)≠0,所以f(0)=1
当x<0时，-x>0,f(-x)>1
f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)=1
所以f(x)=1/f(-x),从而有0<f(x)<1

设x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>1
f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1)>f(x1)
所以单调增

f(x^2)·f(2x-x^2+2)＞1

f(xx+2x-xx+2)>f(0)，即f(2x+2)>f(0)
因为单调增，所以2x+2>0,得x>-1