Question

已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE

且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N。当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图，试说明MN²=AM²+BN²的理由。

Answer 1

将△ACM沿直线CE对折，得 △DCM，连DN，则△DCM≌△ACM
有CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A
又由CA=CB，得CD=CB
由∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM
=90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM
得∠DCN=∠BCN
又CN=CN，
∴ △CDN≌△CBN
有DN=BN，∠CDN=∠B
∴ ∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°
∴在Rt△MDN中，由勾股定理，
得MN2=DM2+DN2 即MN2=AM2+BN2