Question

1×2×3×4×...×40的末尾有几个零？奥数题目，求简算，急！！！！悬赏20分

Answer 1

从1到10，连续10个整数相乘：

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10。

连乘积的末尾有几个0？

答案是两个0。其中，从因数10得到1个0，从因数2和5相乘又得到1个0，共计两个。

刚好两个0？会不会再多几个呢？

如果不相信，可以把乘积计算出来，结果得到

原式=3628800。你看，乘积的末尾刚好两个0，想多1个也没有。

那么，如果扩大规模，拉长队伍呢？譬如说，从1乘到20：

1×2×3×4×…×19×20。这时乘积的末尾共有几个0呢？

现在答案变成4个0。其中，从因数10得到1个0，从20得到1个0，从5和2相乘得到1个0，从15和4相乘又得到1个0，共计4个0。

刚好4个0？会不会再多几个？

请放心，多不了。要想在乘积末尾得到一个0，就要有一个质因数5和一个质因数2配对相乘。在乘积的质因数里，2多、5少。有一个质因数5，乘积末尾才有一个0。从1乘到20，只有5、10、15、20里面各有一个质因数5，乘积末尾只可能有4个0，再也多不出来了。

把规模再扩大一点，从1乘到30：

1×2×3×4×…×29×30。现在乘积的末尾共有几个0？

很明显，至少有6个0。

你看，从1到30，这里面的5、10、15、20、25和30都是5的倍数。从它们每个数可以得到1个0；它们共有6个数，可以得到6个0。

刚好6个0？会不会再多一些呢？

能多不能多，全看质因数5的个数。25是5的平方，含有两个质因数5，这里多出1个5来。从1乘到30，虽然30个因数中只有6个是5的倍数，但是却含有7个质因数5。所以乘积的末尾共有7个0。

乘到30的会做了，无论多大范围的也就会做了。

例如，这次乘多一些，从1乘到40：

1×2×3×4×…×40。现在的乘积末尾共有多少个0？

答案是8个。

Answer 2

应该是9个0！
楼上各位都不小心了。
其计算规律是：
（1）5跟因数2产生的0， 5¹*2¹（一个）；
（2）25跟因数4产生的0， 5²*2² （两个）；
（3）125跟因数8产生的0，5³*2³ （三个）；
…………
实际上，所有的“0”都是“2”和“5”产生的！
2^n*5^n 有n个“0”

1×2×3×4×...×N，就是N的阶乘(N!)，其中的因数2^n总比5^n个数多
所以，1×2×...×N，即N!的值中，含有“0”的个数M其计算公式为：

“0”的个数 M=[N/5]+[N/5²]+[N/5³]+……+[N/5^n]； “[ ]”为取整计算法，就是得数只取整数部分。

本题N=40，M=[40/5]+[40/25]=[8]+[1.6]=8+1=9

如果N是一万呢？即1×2×3×4×...×10000，值有几个零呢?
M=[10000/5]+[10000/25]+[10000/125]+[10000/625]+[10000/3125]
=[2000]+[400]+[80]+[16]+[3.2]
=2000+400+80+16+3
=2499

也许有人会发问说，公式为什么不是
M=1*[N/5]+2*[N/5²]+3*[N/5³]+……+n*[N/5^n] 而是上式？
因为此式中后面的项与前的项会有交叉重合，所以要细心分析。
本题中就含了一个“25”，所以答案应该是
“9”。

Answer 3

末尾若有1个0，则质因数中有一组2和5，因为2×5会出现1个0.
末尾若有2个0，则质因数中有二组2和5，因为2×2×5×5会出现2个0.
……
1至40这40个数中，共有多少个质因数2和5
偶质数2会有很多，可忽略；
含1个质因数5的有:5,10，15，20，30，35，40
含2个质因数5的有：25
共计8个
那么，必然1×2×3×4×...×40的乘积中有8组2×5，末尾就会有8个0.

Answer 4

8个
只要明白哪些数可以产生尾数0
10，20，30，40与任何数相乘尾数得0
5，15，25，35这四个数与任何偶数相乘尾数即可得0
其他的都不可以的
所以有8个

Answer 5

9个
遇到5和10时乘偶数得到1个0，但是25乘两次偶数会得到2个0，所以多1个，共9个