Question

一道数学高一函数题

若f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，若对于x1，x2∈R都有f（x1）+f（x2）≥f（-x1）+f（-x2）成立，证明：则必有 X1+X2≥0

要写出详细的步骤，我能看懂的，越细越好，3Q~

Answer 1

令x1=0
f（x1）+f（0）≥f（-x1）+f（0）
则f（x1）≥f（-x1）
因为f（x）在R上是增函数
则x1≥-x1得到
x1≥0
同理，令x2=0
f（x2）+f（0）≥f（-x2）+f（0）
则f（x2）≥f（-x2）
因为f（x）在R上是增函数
则x2≥-x2得到
x2≥0

所以X1+X2≥0

Answer 2

证明：
反证法
假设X1+X2＜0，则有X1＜－X2，X2＜－X1
又∵f（x）是（-∞，+∞）上的增函数
∴f（X1）＜f（－X2）
f（X2）＜f（－X1）
上面两式相加得
f（X1）+f（X2）＜f（-X1）+f（-X2）
与已知f（X1）+f（X2）≥f（-X1）+f（-X2）矛盾
∴ X1+X2≥0