Question

高一的数学题，求助吖！要过程！

1。已知函数f（x）=x（1/x²-1+1/2），判断函数的奇偶性并证明你的判断
2。对于一切实数x，y，都有f(x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0），并证明f（x）为奇函数 （2)若f（1）=3，求f（-3）
3，已知f（x）=2x/1+x²（x∈R)讨论函数f（x）的性质，

Answer 1

1. f(-x)=(-x)[1/(x^2-1)+1/2]=-f(x),是 奇函数。
2. (1)f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.
f(x-x)=f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)=0,得 f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数。
(2)f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-[f(2)+f(1)]=-[f(1)+f(1)+f(1)]=-9
3. (1)解析式对任何x都有意义，所以定义域为R；
(2)f(-x)=-2x/(x^2+1)=-f(x),所以 f(x)是奇函数；
(3)|f(x)|=|2x|/(|x|^2+1),|x|^2+1≥|2x|,所以 -1≤f(x)≤1.
即值域为(-1，1)。
(4)f'(x)=2(1-x^2)/[(1+x^2)]^2,f'(x)=0时，x=-1,1,所以
当x∈(-1,1)时f'(x)>0，所以在(-1，1)内是增函数；
当x∈(-∞,-1)∪(1，+∞)时f'(x)<0，所以在(-∞,-1)∪(1，+∞)内是减函数。
(5)f(-1)=-1,f(1)=1,所以f(x)在x=-1处有极小值-1，在x=1处有极大值1。

(这简直是折磨人啊)

Answer 2

1.f（x）=x（1/x²-1+1/2），
f(-x)=-x(1/x²-1+1/2)
-f(x)=-x(1/x²-1+1/2)
即f(-x)=-f(x)
所以f(x)为奇函数。

2.(1)设x=y=0
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
又因为f(0)=2f(0)
-f(0)=o
所以f(x)为奇函数

（2）f(2)=2f(1)=6,
f(3)=f(1)+f(2)=9
所以f(-3)=-9

3.f（x）=2x/1+x²
f（-x）=-2x/1+x²
-f（x）=-2x/1+x²
所以f(x)是奇函数。

我应该没算错吧，我高三，刚刚复习过这个知识点

Answer 3

1.f(x)=x[1/(x^2-1)+1/2]
=x/(x^2-1)+x/2
由x^2-1≠0得：x≠±1
∴其定义域为{x|x≠±1}
∵其定义域关于原点对称
∴f(－x)=－x/[(－x)^2-1]+(－x)/2
=－[x/(x^2-1)+x/2]
=－f(x)
∴f(x)是奇函数
2.（1）令x=y=0
则f(0)=f(0)+f(0)
∴f(0)=0
令y=－x
∴f(x－x)=f(x)+f(－x)
即f(0)=f(x)+f(－x)
由上知f(0)=0
∴f(x）+f(－x)=0
∴f(－x)=－f(x)
∴f(x)是奇函数
（2）f(1)=3
令x=y=1
∴f(2)=2f(1)=6
令x=1,y=2
∴f(3）=f（1）+f（2）=9
由（1）知f（x)是奇函数
∴f(－3)=－f(3)=－9
3.∵f(x)的定义域关于原点对称
∴f(－x)=(－2x)/[1+(－x)^2]
=－[(2x)/（1+x^2)]
=－f(x)
∴f(x)是奇函数

Answer 4

1.f(x)的定义域为｛x|x≠-1且x≠1｝关于原点对称
对于任意定义域内x
f(-x)＝-x[1／(-x)²-1＋1／2]＝－x(1／x²－1＋1／2)＝-f(x)
所以f(x)是奇函数
2.(1)令x＝y＝0
f(0+0)＝f(0)+f(0)
所以f(0)=0
(2)f(x)的定义域为R关于原点对称
对于任意x
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
所以-f(x)=f(-x)
所以f(x)是奇函数
3.是单调性还是奇偶性？