Question

求大神解答高数微积分问题

Answer 1

1、原式=lim[ln(e^(2x)+1)/x]/(1+sinx/x]
=liml[ln(e^(2x)+1)/x
=lim2(e^(2x)/(e^(2x)+1) （洛必达法则）
=2
2、∵(sinx)^5dx=-(sinx)^4d(cosx)=-[(1-(cosx)^2]^2d(cosx)，
∴原式=-15[cosx-(2/3)(cosx)^3+(1/5)(cosx)^5]丨 (x=0,π/2)
=8
注：本题也可直接用公式得到。
3、积分区域D={(x,y)丨-1≤x≤1，-1≤y≤x}，
∴k3=-3∫(-1,1)dx∫(-1,x)[y+yxe^(x^2+y^2)/2]dy。
而∫(-1,x)[y+yxe^(x^2+y^2)/2]dy
=[(1/2)y^2+xe^(x^2+y^2)/2]丨(y=-1,x)
=(1/2)(x^2-1)+xe^(x^2)-xe^(x^2+1)/2；
在积分区间x∈[-1,1]，xe^(x^2)-xe^(x^2+1)/2是奇函数，其积分为0，
∴原式=(-3/2)∫(-1,1)(x^2-1)dx=2。
4、令y'-y=0，则dy/y=dx，y^*=ce^x。
再设y=v(x)e^x，带入原方程，有v'(x)=(1-x^2)e^(-x)。对其积分，有v(x)=(x^2+2x+1)e^(-x)+C，
∴y=(x+1)^2+ce^x。
又，f(x)=y是二次函数，∴c=0。
注：本题也可直接用一阶线性方程通解公式求得。
∴原式=f(1)=4。
5、将D={(x,y)丨y≤x≤π/6，0≤y≤π/6}转化成D={(x,y)丨0≤y≤x，0≤x≤π/6}，
交换积分顺序，
原式=2∫(0,π/6)(cosx/x)dx∫(0,x)dy
=2∫(0,π/6)cosxdx=2sinx丨(x=0,π/6)
=1。