Question

初二数学题，要有详细过程！！

解方程：（X+1）（X+2）（X+3）（X+4）=120
要求：利用换元法达到降次的目的，体现化归的数学思想。
一定要有完整过程！！

Answer 1

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120
将第一项与第四项结合，第二项和第三项结合，
得（x^2+5x+4）(x^2+5x+6)=120
令x^2+5x=a,得(a+4)(a+6)=120
解这个方程，得到a=6或a=-16
当a=6时，有x^2+5x-6=0,(x+6)(x-1)=0,得到x=-6或x=1
当a=-16时，有x^2+5x+16=0,根据判别式可知，该方程无解
综上所述，x=-6或x=1

Answer 2

(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=120
(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)=120
设x^2+5x+4=t
t(t+2)=120
t^2+2t-120=0
(t-10)(t+12)=0
t=10或-12
x^2+5x+4=10
x=1或-6
x^2+5x+4=-12
x无解
所以x=1或-6

替换那步也可以换成x^2+5x+6=s等等

Answer 3

（X+1）（X+2）（X+3）（X+4）=120
[（X+1）（X+4）][（X+2）（X+3）]=120
(X²+5X+4)(X²+5X+6)=120
设X²+5X+4=a则 a（a+2）=120
a=10 a=-12
X²+5X+4=10或X²+5X+4=-12
解得X=1 X=-6

Answer 4

将第一个括号和第四个相乘剩下两个相乘
（x^2+5x+6）（x^2+5x+4）=120
设t=x^2+5x+5（t≥-5/4）
（t+1）（t-1）=120
t=11或-11（舍去）
即x^2+5x+5=11
x=-6或1

Answer 5

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120
〔(x+1)(x+4)〕〔(x+2)(x+3)〕=120
(x＾2+5x+4)(x＾2+5x+6)=120

设y=x＾2+5x+5

原方程变形为(y-1)(y+1)=120.y=11，或y=-11

将y=11代入y=x＾2+5x+5.

x＾2+5x+5=11
x=1或-6
y=-11代入，无解。
身为一个数学老师，这道题我开始竟然不会做。汗
搜了一下，答案出来了。

Answer 6

(x+1)(x+4)=x2+5x+4

(x+2)(x+3)=x2+5x+6

故可用换元法分解此题

解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120

令y=x2+5x+5则原式=(y-1)(y+1)-120

=y2-121

=(y+11)(y-11)

=(x2+5x+16)(x2+5x-6)

=(x+6)(x-1)(x2+5x+16)

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