Question

高等数学，求解题过程

Answer 1

g'(0) = lim<x→0>[g(x)-g(0)]/(x-0)
= lim<x→0>[f(x)-xf'(0)]/x^2 (0/0)
= lim<x→0>[f'(x)-f'(0)]/(2x) (0/0)
= lim<x→0>f''(x)/2 = f''(0)/2
x ≠ 0 时，
g'(x) = [xf'(x)-f(x)]/x^2,
则 函数 g(x) 可导，导数是分段函数：
g'(x) = [xf'(x)-f(x)]/x^2, x ≠ 0
g'(0) = f''(0)/2, x = 0
因 lim<x→0>g'(x)
= lim<x→0>[xf'(x)-f(x)]/x^2 (0/0)
= lim<x→0>[f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/(2x) = f''(0)/2 = g'(0)
则 g'(0) 连续。