Question

三道高数题，求助！

1.设z是正整数，并且x乘以y的z次方dx+x的z次方乘以ydy是某个函数u(x,y)的全微分，则z等于多少？
PS：我想就是套用哪个公式或者定理即可，但书上全微分的部分我没找到，答案我有，请把用的定理给出。

2.设积分区域Ω：x²+y²+z²<=1,三重积分I=∫∫∫（z+1）dxdydz,则I：
A I <0 B I>0 C I=0 D I与Z有关
PS：我想问的是因为选项中没给I的具体值，那是不是有什么观察法就能做出？
我是按公式把积分算出了，但费时间也麻烦，有没什么简便算法？

3.将函数f(x)=x/(x+4)展开为（x-1)的幂级数
PS：那几个常用的展开式我都记住了，但就是化不出型来，请告诉我这道题该怎么化简到常用的型。

看好，共三道题，每道都有"PS",就是我不明白的地方，请一一回答，谢了！
高手帮看下，满意一定追加！

Answer 1

Z=2呀，x乘以y的z次方dx+x的z次方乘以ydy是函数u(x,y)的全微分，所以根据曲线积分与路径无关的四个等价条件），dx前的函数对Y求导，dy前的函数对x求导，二者相等：即，ZXY^(Z-1)=ZYX^(Z-1)。。。Z=2；

（2）：I=∫∫∫（z+1）dxdydz=∫∫∫zdxdydz+∫∫∫1dxdydz；积分区域Ω，是关于Z=0对称的，所以∫∫∫zdxdydz=0；∫∫∫1dxdydz为体积，当然I就是正数了，选B啊

（3）一般情况下，要求我们换成X的幂级数。

    当换成（x-a）的幂级数的时候，就必须以a为中心展开，努力换成（x-1）的函数：看下边图片

Answer 2

1、P(x,y)dx＋Q(x,y)dy在一个单连通区域内是函数u(x,y)的全微分，则αP/αy＝αQ/αx，这个是书上的定理呀。由此就可以求出z的取值

2、利用三重积分的对称性，被积函数是z的奇函数，Ω关于xoy面对称，所以∫∫∫zdxdydz＝0，所以I＝∫∫∫dxdydz＝4π/3。选择B

3、换元t＝x-1，则x＝t+1，所以f(x)＝(t+1)/(t+5)＝1－4/(t+5)＝1－4/5×1/(1+(t/5))，利用等比级数∑X^n＝1/(1-X)把1/(1+(t/5))展开就是了，注意：最后的结果要加上取值范围|x-1|＜5