Question

一道高中数学竞赛题！

已知正整数N>=2,则使得：根号下"(1^2+2^2+3^2....+N^2)/N“为整数的最小正整数N为多少？

其中好像用到了任意奇数除以6余数为1或3或5，分别设了N=6K+1,N=6K+3，N=6K+5进行讨论并排除后两种可能。

望高手指教！不胜感激

Answer 1

1^2+2^2+3^2....+N^2=1/6N(N+1)(2N+1)
根号下(1^2+2^2+3^2....+N^2)/N=根号下1/6(N+1)(2N+1)
(2N+1)是奇数，(N+1）是偶数，N是奇数，设N=6K+1,N=6K+3，N=6K+5进行讨论
因为正整数N>=2,所以K>=1
只有当N=6K+1时，(N+1)(2N+1)=6（3K+1)(4K+1)能被6整除
N=6K+3，N=6K+5代入(N+1)(2N+1)都只能化成6A+C的形式，不能被6整除
所以根号下1/6(N+1)(2N+1)=根号下（3K+1)(4K+1)
根据裴蜀定理得到（3K+1)、(4K+1)互素
所以（3K+1)、(4K+1)均为完全平方数
3k+1=n^2 4k+1=m^2
后面就试数吧，试到n=13得到k=56，N=337
关于3k+1=n^2 4k+1=m^2这步我不太会解