Question

数列&函数·问题

设函数f(x)满足f(0)=1，且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2。
(1)求f(x)的解析式
(2)若数列{an}满足:a(n+1)=3f(an)-1 (n∈N+),且a1=1， 求数列{an}的通项公式
(3)求数列{an}的前n项和Sn

PS:a(n+1)=数列{an}的第n+1项

Answer 1

令x=0y=0的f(1)=f(0)*f(0)-f(0)-0+2
f(1)=2
令y=1得f(x+1)=f(x)*f(1)-f(1)-x+2
f(x+1)=2f(x)-x
令x=1得f(y+1)=f(y)*f(1)-f(y)-1+2
f(y+1)=f(y)+1
令y=x的f(x+1)=f(x)+1
两式相减的
f(x)=x+1
a(n+1)=3an+3-1
a(n+1)=3an+2
a(n+1)+1=3(an+1)
an+1=3(a(n-1)+1)
an+1=(a1+1)*3^(n-1)
an=2*3^(n-1)-1
sn=2(1-3^n)/(1-3)-n
sn=3^n-n-1