Question

高一数学问题，救命啊！

1.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0则不等式[f(x)-f(-x)] /x＜0的解集为多少？
2.若函数f(x)的定义域是[a，b]，且b＞-a＞0，则函数g(x)=f(x)-f(-x)的定义域为多少？
3.已知函数f(x)=x^3-x在【0，a】上位单调减函数，在【a,+∞】上位单调增函数，求a的值
4.已知函数f(x)=x^2+a/x(x≠0，a∈R)
（1）判断函数f(x)的奇偶性
（2）若函数f(x)在区间【2,+∞）为增函数，求a的取值范围
5.设函数f(x)是定在【-1,1】上的奇函数，对任意a，b∈【-1,1】，当a+b≠0时，都有【f(a)+f(b)】 /(a+b)＞0
（1）若a＞b，比较f(a)和f(b)的大小
（2）解不等式f(3x)＜f(1+2x)

谢谢！如果回答好的话我再加分，谢谢！

Answer 1

解：
1）
奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数
所以在(0,-∞)上也是增函数
f(1)=0
说明，0<x<1,f(x)<0;x>1,f(x)>0
-1<x<0,f(x)>0;x<-1,f(x)<0
[f(x)-f(-x)] /x＜0
若：x>0,f(x)<f(-x)
0<x<1
若：x<0,f(x)>f(-x)
-1<x<0
所以，解集是：(-1,0)(0,1)

2)
f(x)的定义域是[a，b]，且b＞-a＞0，
a<0<b,-b<0<-a;-b<a<0<-a<b
f(-x):[-b，-a]
g(x)=f(x)-f(-x)的定义域就是[a，b]和[-b，-a]的交集：
[a，-a]

3)
f(x)=x^3-x
f'(x)=3x^2-1=0
x=1/3^0.5
[0,1/3^0.5],f'(x)<0,f(x)递减
〔1/3^0.5,+∞)，f'(x)>0,f(x)递增
所以：a=3^0.5/3

4)
f(x)=x^2+a/x
f(-x)=x^2-a/x
a∈R
f(x)和f(-x)不相等，所以函数不是偶函数
f(x)+f(-x)=2x^2
x≠0
f(x)+f(-x)≠0
所以，函数不是偶函数也不奇函数

f(x)在区间【2,+∞）为增函数
f'(x)=2x-a/x^2=0
2x^3=a
x=(a/2)^(1/3)<=2
a<=16

5)
【f(a)+f(b)】 /(a+b)＞0
(x)是定在【-1,1】上的奇函数，对任意a，b∈【-1,1】，
f(-b)=-f(b)代入上式：
【f(a)+f(-b)】 /(a-b)
=【f(a)-f(b)】 /(a-b)>0
a＞b
f(a)-f(b)>0
f(a)>f(b)

同理：
f(3x)＜f(1+2x)
1+2x>3x;1+2x,3x∈【-1,1】
x<1;[-1,0],[-1/3,1/3]
交集：〔-1/3，0〕
解集：〔-1/3，0〕

Answer 2

1. ∵ f(x)为奇函数
∴ f(-x)=-f(x)
∴ f(x)-f(-x)=f(x)-[-f(-x)] =2f(x)
又 ∵ f(x)为增函数 且f(1)=0
∴ 当 0＜x＜1 时，f(x)＜0 x＞1时 f(x)＞0
当 -1＜x＜0时，f(x)＞0 x＜-1时 f(x)＜0
∴[f(x)-f(-x)] /x=2f(x) /x＜0 的解集为：(-1,0)(0,1)
2. ∵函数f(x)的定义域是[a，b]，
即 a≤x≤b
∴函数f(-x)的定义域是 a≤-x≤b
即 -b≤x≤-a
又∵b＞-a＞0
∴-b＜a＜0＜-a＜b
∴g(x)=f(x)-f(-x)的定义域为 a≤x≤-a
即[a，-a]
3.任取X1＜X2∈【0，a】
∴f(X2)-f(X2)=X2^3-X2-(X1^3-X1)=(X2-X1)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X2-X1)
=(X2-X1)(X1^2+X1X2+X2^2-1)
∵f(x)=x^3-x在【0，a】上位单调减函数
∴X1,X2最大值为a
∴X1^2+X1X2+X2^2-1=a^2+a*a+a^2-1=3a^2-1＜0
∴a≤√3/3（∵X1,X2取最大值a)
又∵f(x)在【a,+∞】上位单调增函数
∴a≥√3/3
∴a=√3/3
4. ∵f(x)=x^2+a/x的定义域为【-∞,0）U（0,+∞】 关于原点对称
又∵f(x)=x^2+a/x
∴f(-x)=（-x）^2+a/（-x）=x^2-a/x
≠x^2+a/x=f(x)
又≠-x^2-a/x=-f(x)
∴f(x)为非奇非偶函数