Question

一道几何题！！！

A为圆心，CD为弦，AH⊥CD，F为CD中点，如图连接（虚线为辅助线，可以不看），求证I为CH中点
F为CA中点，上面打错了

Answer 1

我用解析几何证出来，方法算不得好。

取CH中点，设为点R
以A为原点，AH为y轴，建立平面直角坐标系
设圆的半径为2 ，则圆为 x^2+y^2=4
设 C(2cosθ,2sinθ) , 则 d(cosθ,sinθ)
∴ 直线FG 为 y=(sinθ-2).x/cosθ+2
又 R(cosθ,sinθ-1) , D(-cosθ,sinθ)
∴ 直线DR 为 y=-(sinθ+1).x/（3cosθ）+（4sinθ-2）/3

所以 两直线的交点
P 为 [4(sinθ-2).cosθ/(4sinθ-5),4(sinθ-2)^2/(4sinθ-5)+2]

经检验 Xp^2+Yp^2=4（cosθ在平方时用1-sin^2(θ)替换掉，左式只剩关于sinθ的多项式，最后全消掉了）

即 两直线的交点P 恒在圆 x^2+y^2=4 上

又FG与圆相交
∴ P点即为G点
则点 G在直线DR上
∴ 点R在直线DG上
∵ DG与CH相交于I ，
∴ R点即为I点
即 I为CH中点 。

证毕