Question

在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为AB,CD的中点,EP⊥平面ABCD

请大家把F看成A
1）求证AQ‖平面CEP
2.平面AEQ⊥平面DEP
3.若EP=AP=1，求三棱锥E---AQC的体积

Answer 1

1）在矩形ABCD中，AB=2BC，P，Q分别为AB，CD的中点，
∴AP‖CQ，且AP=CQ=(1/2)AB，
∴四边形APCQ是平行四边形，得AQ‖PC，
又AQ不在平面CEP内，PC在平面CEP内，
∴AQ‖平面CEP；

2）∵AP=DQ=(1/2)AB，
∴四边形APQD是正方形，
对角线AQ与DP互相垂直；

又EP⊥平面ABCD，AQ在平面ABCD内，
∴EP⊥AQ，

∵EP∩DP=P，AQ⊥DP，AQ⊥EP，
∴AQ⊥平面EPD，
又AQ在平面AEQ内，
∴平面AEQ⊥平面EPD；

3）若EP=AP=1，则AB=2，
△AQC中，CQ=1，CQ边上的高AD=1，
△AQC的面积为1/2；

∵EP⊥平面ABCD，
∴由棱锥的体积公式得，
三棱锥E—AQC的体积=(1/3) ×△AQC的面积×EP
=(1/3) ×(1/2)×1
=1/6.