Question

有关高一函数

(mx^2+8x+n)/(x^2+1)的定义域为R，值域为[1,9]，求m,n的值。
PS：请详细讲讲思路，谢

Answer 1

设(mx^2+8x+n)/(x^2+1)=A
则有 MX^2+8X+N=AX^2+A
(M-A)X^2+8X+N-A=0
因为二次方程有解,则必有判别式
8^2-4*(M-A)*(N-A)>=0
64-4MN+4(M+N)A-4A^2>=0 ==> A^2-(M+N)A+MN-16<=0
因为(mx^2+8x+n)/(x^2+1)的值域为[1,9]
即1<=A<=9
即A1=1,A2=9是方程 A^2-(M+N)A+MN-16=0的两个根
根据韦达定理
则有 A1+A2=1+9=M+N ==>M+N=10 (1)
A1*A2=1*9=9=MN-16 ==>MN=25 (2)
解(1),(2)得
M=5 N=5

Answer 2

令y=(mx^2+8x+n)/(x^2+1)
乘过去，化简可得(m-y)x^2+8x+（n-y)=0
此必为二次函数，且Δ≥0
即64-4（m-y）（n-y）≥0的解是[1,9]
∴y^2-(m+n)y+mn-16=0的两个根是1和9
∴m=n=5