Question

220题微分方程，求大神帮忙解答一下，写一下思路和过程吧

Answer 1

方程 y''+9y=0通过点(π，-1)且在该点处和直线y+1=x-π相切的积分曲线为？
解：y''+9y=0的特征方程 r²+9=0的根 r₁=3i；r₂=-3i；因此该方程的通解为：
y=C₁cos3x+C₂sin3x.............①
已知曲线①过点(π，-1)，因此:
C₁cos3π+C₂sin3π=C₁cosπ+C₂sinπ=-C₁=-1，∴C₁=1;
对①求导，得y'=-3C₁sin3x+3C₂cos3x............②
①与直线 y+1=x-π在(π，-1)处相切，故y'(π)=1；即：
-3C₁sin3π+3C₂cos3π=-3C₁sinπ+3C₂cosπ=-3C₂=1；∴C₂=-1/3.
将C₁，C₂之值代入①式，即得满足题意的积分曲线为：
y=cos3x-(1/3)sin3x；故应选D。

追问

已知曲线①过点(π，-1)，因此:
C₁cos3π+C₂sin3π=C₁cosπ+C₂sinπ=-C₁=-1，∴C₁=1

这一步的俩等号不明白，为啥过(π，-1)后，通解就变成c1cos+c2sin=-c1呢？

追答

点(π，-1)在积分曲线上，即该点的坐标满足方程①；
将坐标代入①式即得。
C₁cos3π+C₂sin3π=C₁cos(2π+π)+C₂sin(2π+π)
=C₁cosπ+C₂sinπ=-C₁+0=-1，∴C₁=1

【cosπ=-1，sinπ=0】