Question

这道高数的极限证明怎么做

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Answer 1

用夹逼定里，上下界的极限都是1/2。
原式<=n[ 1/n*(n+1) + 1/(n+1)*(n+2) + …… + 1/（2n-1)2n ]
=n[ 1/n - 1/(n+1) + 1/(n+1) - 1/(n+2) + …… - 1/2n =
=n[1/n - 1/2n] = 1/2
原式>=n[ 1/(n+1)*(n+2) + 1/(n+2)*(n+3) + …… + 1/（2n+1)2n ]
=n[ 1/(n+1) - 1/(n+2) + 1/(n+2) - 1/(n+3) + …… - 1/(2n+1) =
=n[1/(n+1) - 1/(2n+1)] = n^2/(2n^2+3n+1)极限为1/2

所以原式极限为1/2

Answer 2

观察通项n/(n+i)^2=(1/n)*[1/(1+i/n)^2];其和式刚好为定积分的定义形式，积分区间为[0,1],被积函数为1/(1+x)^2;计算定积分得到1/2

Answer 3

每项都提取一个1/n，剩下的是一个和式∑[1/(1+i/n)^2]，i从1到n。
函数f(x)＝1/(1+x)^2，将区间[0,1]n等分，每个小区间取右端点i/n＝ξi，构造的和式∑f(ξi)△xi即为∑[1/(1+i/n)^2]。
所以原极限即为定积分 ∫(0到1) 1/(1+x)^2 dx＝1/2