Question

数学大神求解

Answer 1

（1）解：取AB的中点D，连接CD
所以CD是三角形ABC的中线
因为三角形ABC是等腰直角三角形
所以CD是等腰直角三角形ABC的中线，垂线，角平分线
所以AC=BC
角ACB=90度
角CBA=角MBN+角CBK=45度
AB^2=AC^2+BC^2
CD=1/2AB
角CDM=90度
角ACD=角BCD=1/2角ACB=45度
因为角MBN=角MCA=15度
所以角CBK=30度
在直角三角形BCK中，角ACB=90度，角CBK=30度
所以CK=1/2BK
BC^2=CK^2+BK^2
因为BK=8
所以CK=4
BC=4倍根号3
AB=6倍根号6
CD=2倍根号6
因为角MCD=角MCA+角ACD=15+45=60度
角MCD+角M+角CDM=180度
所以角M=30度
三角形CDM是直角三角形
所以CD=1/2CM
所以CM=4倍根号6
（2）证明：延长ED交AF于P
因为BE垂直直线l于E
所以角BEC=90度
因为AF垂直直线l于F
所以角AFC=角AFE=90度
所以角AFE=角BEC=90度
所以BE平行AF
所以角DBE=角DAP
角DEB=角DPA
因为D是AB的中点
所以BD=AD
所以三角形BDE全等三角形ADP (AAS)
所以BE=AP
DE=DP=1/2PE
所以D是PE的中点
所以DF是直角三角形PFE的中线
因为角AFC+角CAF+角ACE=180度
所以角CAF+角ACE=90度
因为角ACB=角ACE+角BCE=90度
所以角CAF=角BCE
因为角BEC=角AFC=90度（已证）
AC=BC
所以三角形ACF全等三角形CBE (AAS)
所以BE=CF
AF=CE
所以BE=AP=CF
因为AF=AP+PF
CE=EF+CF
所以EF=PF
所以三角形PFE是等腰直角三角形
所以DF是等腰直角三角形PFE的中线，垂线
所以DE=DF
角EDF=90度
所以三角形EDF是等腰直角三角形
所以EF^2=DE^2+DF^2
所以EF=根号2DE
因为AF=AP+PF
所以AF=BE+根号2DE
(2)AF+BE=根号2DE
证明：连接CD DF
因为D是AB的中点
三角形ABC是等腰直角三角形
所以CD是等腰直角三角形ABC的中线 ，垂线，角平分线
所以AC=BC
角ACB=90度
角CAB=45度
CD=AD=BD=1/2AB
角ADC=角ADF+角CDF=90度
角ACD=角BCD=1/2角ACB=45度
因为BE垂直直线L于E
所以角BEC=90度
因为角BEC+角CBE+角BEC=180度
所以角CBE++角BCE=90度
因为角ACB+角BCE+角ACF=180度
所以角BCE+角ACF=90度
所以角CBE=角ACF
因为AF垂直直线l于F
所以角CFA=90度
所以角BEC=角CFA=90度
所以三角形ACF全等三角形CBE (AAS)
所以BE=CF
CE=AF
因为角DCE=角BCD+角BCE=45+角BCE
角DAF=角CAB+角CAF=45+角CAF
所以角DCE=角DAF
所以三角形DCE全等三角形DAF (SAS)
所以角ADF=角CDE
DE=DF
所以三角形EDF是等腰三角形
因为角EDF=角CDE+角CDF
所以角EDF=角CDF+角ADF=90度
所以三角形EDF是等腰直角三角形
所以EF^2=DE^2+DF^2
所以EF=根号2DE
因为EF=CE+CF
所以AF+BE=根号2DE