Question

设函数f（X）的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时，o<f(x)<1.

设函数f（X）的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时，o<f(x)<1.
证明f(o)=1,且当x<0时，有f(x)>1

Answer 1

证：
(1)
令m=1,n=0，由f(m+n)=f(m)f(n)得
f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)
f(1)[f(0)-1]=0
1>0 0<f(1)<1 f(1)≠0，因此f(0)-1=0
f(0)=1

(2)
令m=x,n=-x (x<0)
则-x>0
f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)=1
f(x)=1/f(-x)
又-x>0时，0<f(-x)<1
因此f(x)=1/f(-x)>1/1=1
f(x)>1
即x<0时，f(x)>1

Answer 2

证明：
(1)
令m=1,n=0，由f(m+n)=f(m)f(n)得
f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)
f(1)[f(0)-1]=0
因为1>0 所以0<f(1)<1 f(1)≠0，因此f(0)-1=0
f(0)=1

(2)
令m=x,n=-x (x<0)
则-x>0
f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)=1
f(x)=1/f(-x)
又-x>0时，0<f(-x)<1

所以：f(x)=1/f(-x) > 1
f(x)>1
即x<0时，f(x)>1

Answer 3

(1)
令m=1,n=0，由f(m+n)=f(m)f(n)得
f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)
f(1)[f(0)-1]=0
1>0 0<f(1)<1 f(1)≠0，因此f(0)-1=0
f(0)=1

(2
令m=x,n=-x (x<0)
则-x>0
f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)=1
f(x)=1/f(-x)
又-x>0时，0<f(-x)<1
因此f(x)=1/f(-x)>1/1=1
f(x)>1
所以x<0时，f(x)>1

Answer 4

x>0时，0<f(x)<1
=> 当m>0,n>0时,m+n > n, f(m+n) = f(m)*f(n) < f(n)
=> x>0时,f(x)单调递减。

f(0) = f(0)*f(0) => f(0) = 0 或 f(0)=1
当f(0) = 0 , m>0 时，f(m+0) = f(m)*f(0) = 0 与题意矛盾
f(0) = 1
当m>0：
f(0) = f(m)*f(-m) = 1 => f(-m) = 1/f(m) => 当x<0时，f(x)单调递减。

所以x<0时，f(x)>f(0)=1
f(x)>1