Question

设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图案与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记

设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图案与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求：⑴求实数b的取值范围，⑵求圆C的方程，⑶问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。

Answer 1

1，由题可知，∵函数和y轴必有一个交点，函数有两个根∴△>0即可求出b的范围
2。由OC=OB=3，知C 连接AC，在Rt△AOC中，OA=OC×tan∠ACO= ，故A 设所求二次函数的表达式为 将C 代入得 ，解得 ，∴这个二次函数的表达式为 。（3）解法一：①当直线MN在x轴上方时，设所求圆的半径为R（R>0），设M在N的左侧，∵所求圆的圆心在抛物线的对称轴 上，∴N（R+1，R）代入 中得，解得 。②当直线MN在x轴下方时，设所求圆的半径为 ，由①可知N ，代入抛物线方程可得 。（3）解法二：①当直线MN在x轴上方时，设所求⊙的半径为R（R>0）, ，则 和 是方程 的两根∴△= 由 得， ∴ 。解得 。②当直线MN在x轴下方时，设所求圆的半径为 ， ，则 和 是方程 的两根∴△= ，解得 。由 得， ∴ 。解得 。又∵ ，∴ 。（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，把G（2，y）代入抛物线的解析式 得G 。由A 可得直线AG的方程为 设 ，则 ， ，当 时，△APG的面积最大。此时P点的坐标为 ，△APG的面积最大值为 。

Answer 2

1）利用△，△=4-4b，因为与两坐标轴有三个交点，所以与X轴有两个交点，三角>0，所以b<1.又因为它不能过原点（不然就是两个交点），所以范围是b<1且b≠0.

（2）设抛物线与X轴交于AB两点，则C一定在AB的垂直平分线，也就是抛物线的对称轴上。所以C横坐标为-2/2=-1，又过点A（根号下（1-b）-1,0），设圆的方程为（x+1)²+(y-m)²=r²，那么C(-1,m），

r=根号下【（根号下（1-b)-1+1）²+m²】=根号下（m²-b+1)

因为（0,b）在圆上，那么将(0,b）代入，有

1+（b-m）²=m²-b+1,b²+b=2bm，因为b≠0所以m=（b+1）/2

C（-1,(b+1)/2)，r²=（b²+5-2b)/4

方程为（x+1)²+(y-b/2-1/2)²=b²/4+5/4-b/2

（3）将圆的方程拆开整理得4x²+4y²+8x+4b(1-y)-4y=0，当y=1时b就被消掉了，所以恒过的这个定点的y=1，（因为它与b没关系），代回解x，得x1=0（舍，因为圆不能过原点），x2=-2

所以这个华丽的定点就是：（1，-2）！！！