Question

已知△ABC中，AB=AC,∠ABC＞60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°—二分之一的∠BDC。求证AB=BD=DC

Answer 1

延长BD,并在BD的延长线上取一点M，使DM=CD， 角ADM=90度+1/2角BDC， 角ADC=角ADB+角BDC=90度-1/2角BDC+角BDC=90度+1/2角BDC，
所以角ADM=角ADC。 此时在三角形ACD和三角形ADM中，AD=AD，CD=DM，角ADC=角ADM， 所以三角形ADC全等于三角形ADM（SAS）。
所以AC=AM，又因为AB=AC，所以AM=AB。
又因为角ABD=60度，所以三角形ABM为等边三角形。 所以AB=BM，又因为CD=DM，所以AB=BD+DC

Answer 2

延长BD至E使DC=EC,
所以角DCE=角DEC=(1/2)角BDC
角ADE=360度-角ADB-角BDC-角CDE
=360度-(90度-(1/2)角BDC)-角BDC-(180度-角BDC)
=90度－(1/2)角BDC=角ADB
所以△ADC≌△ADE
AC=AE=AB
由于角ABD=60度
△ABE为等边三角形
AB=BE=BD+DE=BD+CD