Question

利用定义证明 y=2x/(x+1)在（-1。正无穷大）上为增函数

Answer 1

设未知数x1,x2，x1<x2且，x1,x2∈[-1，+∞]
y1=2x1/(x1+1)
y2=2x2/(x2+1)
y2-y1=2x2/(x2+1)-2x1/(x1+1)
化解后可知
y2-y1=2(x2-x1)/(x2+1)(x1+1)
因为，x2>x1，由前面知道，x1,x2∈[-1，+∞]
显然有(x2-x1)>0,(x2+1)(x1+1)>0
所以y2-y1>0
所以函数在定义上为增函数

Answer 2

设-1＜x1＜x2＜+∞，
即f（x1)=2x1/（x1+1），f（x2)=2x2/（x2+1)，
当f（x1）-f（x2)=2x1/（x1+1）-2x2/（x2+1)，
=（2x1x2+2x1-2x1x2-2x2）/（x1+1)（x2+1)
=2（x1-x2)/（x1+1)(x2+1)＜0（∵x1＜x2)，
∴y=f（x）在（-1，+∞）上为增函数。
证毕。