Question

证明题，怎么做，求助

Answer 1

设F(t)=(a+t)∫(a~t)f(x)dx-2∫(a~t)xf(x)dx
则
F'(t)=∫(a~t)f(x)dx+(a+t)f(t)-2tf(t)
=∫(a~t)f(x)dx+(a-t)f(t)
=∫(a~t)f(x)dx-∫(a~t)f(t)dx
=∫(a~t)[f(x)-f(t)]dx

∵f(x)单调递增，
当a≤x＜t时，f(x)＜f(t)
∴∫(a~t)[f(x)-f(t)]dx＜0
∴F'(t)＜0
∴F(t)单调递减。

F(a)=0
∴t＞a时，F(t)＜0

∴F(b)＜0
即：(a+b)∫(a~b)f(x)dx＜2∫(a~b)xf(x)dx

追问

牛

怎么会想到把b当做一个变量来设一个新的函数呢？ 好厉害

（a-t）f（t）怎么变成下一步的？

追答

这是积分不等式的一种常见方法，
这么处理，
可以利用积分变限函数求导，
从而借助单调性等来证明积分不等式。

对x而言，f(t)是常数，
所以，
f(t)·(t-a)
=f(t)∫(a~t)dx
=∫(a~t)f(t)dx

追问

谢谢

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示