Question

高中数学题！！ 谢谢

定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意实数x，y有f(x+y)=f(x)*f(y).
(1)证明:当x<0时,有0<f(x)<1;
(2)证明:f(x)是R上的增函数;
(3)若f(x^2)*f(2x-x^2+2)>1,求x的取值范围

Answer 1

1.f(0)=1 x大于0时，令y=-x,f(0)=f(x)*f(-x)=1,f(-x)=1/f(x)小于1

2.由1可知，f(x)大于0
令a大于0，f(a+b)-f(b)=f（b）*【f(a)-1】大于0

3.f(x^2)*f(2x-x^2+2)=f(2x+2)>1
2x+2>0
x>-1

Answer 2

(1).f(0)=f(0)·f(0)=[f(0)]²
∵f(0)≠0 ∴f(0)=1
令 x<0 则 -x>0 f(-x)>1
f(x-x)=f(x)·f(-x)=f(0)=1
∴f(x)=1/f(-x)
∵f(-x)>1 ∴0<1/f(-x)<1
故 0<f(x)<1
所以，当x<0时,有0<f(x)<1

(2).设 x1>0 则 x1+x2>x2
f(x1+x2)/f(x2)=f(x1)·f(x2)/f(x2)
=f(x1)
∵x1>0 ∴f(x1)>1
则 f(x1+x2)/f(x2)>1
由(1)可知 x∈R f(x)>0
∴f(x1+x2)>f(x2)
所以，f(x)是R上的增函数 得证

(3).f(x²)·f(2x-x²+2)=f(x²+2x-x²+2)=f(2x+2)>1=f(0)
∵f(x)是R上的增函数
∴2x+2>0
解得 x>-1