Question

高数保号性的证明……不太懂，为什么，绝对值xn-a的绝对值小于a/2就可

高数保号性的证明……不太懂，为什么，绝对值xn-a的绝对值小于a/2就可得到xn大于a-a/2大于0，要得到这个式子不是一定要xn小于a么？得出xn大于0后又有什么用呢？保号性指什么？a小于0时又如何证明？谢谢大神指导

Answer 1

以a＞0为例。保号性指的是如果数列的极限是个正数a，那么从某一项开始，数列的所有项的值也都是正的，其中的关键是能找到“某一项”，使得从这一项后面数列所有项的值也是正的，也就是要证明N的存在性。至于第N项之前的这些项，数列的值完全可以是负数或者是0，这与保号性的结论并不冲突。

从中可以看出，利用保号性，我们可以通过数列的极限的正负，来判断数列各项取值的正负这个基本性质，当然这是很浅显的了。数列的其他性质，比如有界性，也是可以通过极限判定的。

根据数列极限的定义，对于任意给定的任意小的正数ε，都能找到正整数N，使得n＞N时，恒有|xn-a|＜ε，即a-ε＜xn＜a+ε。既然要使得xn＞0，那么只要取ε使得a-ε≥0即可。所以取正数ε：0＜ε≤a，对于这样的ε，自然也会找到正整数N，使得n＞N时，恒有|xn-a|＜ε，所以xn＜a-ε≥0，即xn＞0。
所以，ε的取值有无穷多个，a/2，a/3，a/4等等皆可。

追问

你好，上面的我都看懂了，谢谢。请问limxn=a中有规定数列xn一定是单增数列吗？
此外如何证明a小于0的情况呢？

追答

xn当然不一定单增了。a＜0时，你看xn＜a+ε就是了。