大一数学分析求解
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设y=arctanx
则y'=(arctanx)'=1/(1+x²)
∴(1+x²)y'=1
两边同时求n阶导数，
【利用莱布尼兹公式】
y^{n+1}·(1+x²)+C(n,1)·y^{n}·2x+C(n,2)·y^{n-1}·2=0
即：
y^{n+1}·(1+x²)+2nx·y^{n}+n(n-1)·y^{n-1}=0
代入x=0得到：
y^{n+1}(0)=-n(n-1)·y^{n-1}(0)
∵y(0)=0，y'(0)=1
∴ y''(0)=0，
y'''(0)=-2·1·y'(0)=-2!
∴y^{4}(0)=0，
y^{5}(0)=-4·3·y'''(0)=4!
所以，答案是
arctanx=x-1/3·x³+1/5·x^5+o(x^5)
【附注】
y^{n}表示y的n阶导数，
y^{n}(a)表示y在a点的n阶导数
则y'=(arctanx)'=1/(1+x²)
∴(1+x²)y'=1
两边同时求n阶导数，
【利用莱布尼兹公式】
y^{n+1}·(1+x²)+C(n,1)·y^{n}·2x+C(n,2)·y^{n-1}·2=0
即：
y^{n+1}·(1+x²)+2nx·y^{n}+n(n-1)·y^{n-1}=0
代入x=0得到：
y^{n+1}(0)=-n(n-1)·y^{n-1}(0)
∵y(0)=0，y'(0)=1
∴ y''(0)=0，
y'''(0)=-2·1·y'(0)=-2!
∴y^{4}(0)=0，
y^{5}(0)=-4·3·y'''(0)=4!
所以，答案是
arctanx=x-1/3·x³+1/5·x^5+o(x^5)
【附注】
y^{n}表示y的n阶导数，
y^{n}(a)表示y在a点的n阶导数
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