Question

解下列方程

Answer 1

显然，这是一个单调增加的数列。

另外这是一个上方有界的数列。可用归纳法证明之。

∵S₁=√x<(√x)+1；设S﹤n-1﹥<(√x)+1; 则

S﹤n﹥=√(x+S﹤n-1﹥)<√[x+(√x)+1]<√[x+2(√x)+1]=√[(√x)+1]²=(√x)+1；

因此对任何一项都有：Sn<(√x)+1.

由定理：单调有界，必有极限。因此可设 n→+∞limSn=P;

因为 Sn=√[x+S﹤n-1﹥]，或(Sn)²=x+S﹤n-1﹥,对这个等式取极限：

n→+∞lim(Sn)²=x+n→∞limS﹤n-1﹥

由假设得P²=x+p；于是得到一个关于P的二次方程：P²-P-X=0

其二根为：P=[1±√(1+4x)]/2；∵Sn>0，故只取正根：

即极限P=[1+√(1+4x)]/2=3

1+√(1+4x)=6；√(1+4x)=5；1+4x=25；4x=24；∴x=6.