Question

抛物线题

已知圆x^2+y^2=r^2与x轴的焦点为A,B，求以圆x^2+y^2=R^2的任一条切线为准线，且过A,B两点的抛物线的焦点的轨迹方程

Answer 1

A,B两点分别为(-r,0)和(r,0);它们的中点为原点(0,0);
这两点到准线和经过它们的抛物线的焦点的距离分别相等;
那么也就是说,A,B两点与所要求的抛物线的焦点的距离之和=A,B两点到所要求的抛物线的准线的距离之和.
画个图就知道了.
而这类准线都是以圆x^2+y^2=R^2的任一条切线,即:原点(0,0)到这些准线的距离都相等,都是R.
而原点(0,0)是A,B两点的中点,从画图上易知,原点(0,0)到这些准线的垂线是以A,B两点到这些准线的垂线为底的直角梯形的中位线,则可知:
A,B两点到所要求的抛物线的准线的距离之和=2R,是个定值.
则,A,B两点与所要求的抛物线的焦点的距离之和也是定值2R.
所以,所求的过A,B两点的抛物线的焦点的轨迹就是以A,B为焦点,以2R为定长的椭圆
x^2/R^2 + y^2/(R^2-r^2) =1, y≠0