一道数学函数题

设函数f(x)=t-1/x(t>0,x>0),(1)判断并证明f(x)在(0.,+∞)上的单调性(2)如果f(x)在[a,b]上值域是[a,b],求t的取值范围及a、b的... 设函数f(x)=t-1/x(t>0,x>0),
(1)判断并证明f(x)在(0.,+∞)上的单调性
(2)如果f(x)在[a,b]上值域是[a,b],求t的取值范围及a、b的值
(3)如果f(x)≤4x在x∈[1,+∞)上恒成立,求实数t的取值范围
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min1234tb
2010-10-06 · TA获得超过2287个赞
知道小有建树答主
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(1)
判断:x>0,1/x减函数,-1/x减函数,从而f(x)在(0, +∞)上单调增。
按定义验证即可,易证当0<x1<x2时, f(x1)<f(x2).
(2)
由(1)知,0<a<b,且f(a)=a,f(b)=b.
得到t=a+1/a=b+1/b>=2, (正数均值不等式)
则a=1/b, 1/a=b,
于是,0<a<1<b,且a=1/b。
(3)
当x=1时,f(1)=t-1≤4,得t≤5.
当x>1, 在点(x,y)y=f(x)的斜率f'(x)=1/x^2<1;y=4x的斜率为4.
即x>1时, 4x比f(x)增加得更快。
综上,t≤5.
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