Question

一道数学函数题

设函数f(x)=t-1/x(t>0,x>0)，
（1）判断并证明f（x）在（0.，+∞）上的单调性
（2）如果f（x）在[a，b]上值域是[a,b]，求t的取值范围及a、b的值
（3）如果f（x）≤4x在x∈[1,+∞)上恒成立，求实数t的取值范围

Answer 1

(1)
判断：x>0，1/x减函数，-1/x减函数，从而f(x)在(0, +∞)上单调增。
按定义验证即可，易证当0<x1<x2时, f(x1)<f(x2).
(2)
由(1)知，0<a<b,且f(a)=a,f(b)=b.
得到t=a+1/a=b+1/b>=2, (正数均值不等式)
则a=1/b, 1/a=b,
于是，0<a<1<b,且a=1/b。
(3)
当x=1时，f(1)=t-1≤4,得t≤5.
当x>1, 在点(x,y)y=f(x)的斜率f'(x)=1/x^2<1；y=4x的斜率为4.
即x>1时, 4x比f(x)增加得更快。
综上，t≤5.